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试用线性规划模型法解决优化生产量的问题

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试用线性规划模型法解决优化生产量的问题 摘要 在市场经济条件下, 成本与收益的关系得到人们的高度重视, 为了提高资源的利用率, 节约成本,结合“杨阿姨卖包子的困惑” ,对总收益的尽可能的大和产量的最优化进行 深入研究。

而这俩个目标在一定意义上是对立的。

利用线性规划方面的相关理论知识, 制定一套切实可行、经济实惠、另杨阿姨满意的方案。

关键词:线性规划;优化模型 一、 问题的重述 杨阿姨每天上午在家中做好包子,下午在所住小区的大门外贩卖,晚上到另一个小区陪孙子。

杨 阿姨每天为一件事情纠结:不知道该做多少包子。

包子的成本是 2 角钱,一般卖 5 角钱一个,如果 包子做多了,到距离晚上还有半个小时的时候包子还没有卖完,杨阿姨就必须降价处理,按 3 个包 子 1 元钱销售;到晚上包子仍有剩余就只能免费送人处理。

但是如果包子做少了,不够卖,也会造 成一定的利润损失。

现在杨阿姨向你请教,每天应该做多少包子? 二、 模型的假设 1、假设杨阿姨卖包子的时间固定,且考虑天气恶劣让杨阿姨卖包子数量减少、在节假 日能提高杨阿姨的销售业绩。

因此杨阿姨的销售业绩分为:业绩好时、业绩一般时、业 绩差时。

2、假设向杨阿姨了解关于在业绩一般时销售情况,业绩好时一天的销售情况,还有在业绩差时一天 中的销售情况。

得到杨阿姨回答如下表 业绩一般 5 角钱一个 3个1元 免费送人 收入 100 60 30 32 业绩差 70 30 25 20 业绩好 120 90 20 44 假设向杨阿姨了解销售业绩一般时连续三天的销售情况,三天总共最多卖 5 角钱的包子 320 个 , 三天总共最多卖 3 个 1 元的包子 200,三天总共最多免费送出 90 得到杨阿姨的回答如下表 业绩一般 5 角钱一个 3个1元 免费送人 收入 100 60 30 32 业绩差 70 30 25 20 业绩好 120 90 20 44 ≤320 ≤200 ≤90 1

三、符号说明 符号 ƒ 表示意义 收入 卖 5 角钱包子的数量 x1 x2 x3 A 卖 3 个 1 元包子的数量 免费送人包子的数量 卖包子的总数量 三、 模型的建立 我们的目标是提高资源的利用率,节约成本。

且对总收益的尽可能的大和产量的最优 化进行深入研究。

因此我们可以建立以下数学模型: 1 max ƒ = (0.5-0.2) x 1 +( -0.2) x 2 -0.2 x 3 3 100 x 1 +70 x 2 +120 x 3 ≤ 320 s.t 60 x 1 +30 x 2 +90 x 3 ≤ 200 30 x 1 +25 x 2 +20 x 3 ≤ 90 x i ≥0 (i= 1, 2 , 3 ) 引入松弛变量 x 4 , x 5 , x 6 ,得标准型 1 max ƒ = (0.5-0.2) x 1 +( -0.2) x 2 -0.2 x 3 3 2

100 x 1 +70 x 2 +120 x 3 +x 4 = 320 s.t 60 x 1 +30 x 2 +90 x 3 + x 5 =200 30 x 1 +25 x 2 +20 x 3 +x 6 = 90 x i ≥0 (i= 1, 2 , 3 ,4 ,5 ,6 ) 以下利用单纯形法求解线性规划模型。

作出单纯形系数矩阵并依次变更基变量。

ƒ 100 60  30  32 70 30 25 20 120 90 20 44 1 0 0 1 0 0 0 0 , 0 320  0 200  1 90   0 0  , x 3 = 15 x 1 = 98 x 2 =32 , x 4 = 0 ,x 5 =0 , x 6 =0 max ƒ = 28.8 A =x 1 +x 2 +x 3 = 135 所以杨阿姨每天做 135 个包子就可以。

四、 计算结果分析 如采用 Matlab 软件进行数算,可增强模型的准确性。

其次此数学模型依赖初 值。

参考文献 [1]姜启源等,数学模型(第三版) ,高等教育出版社,2003 年 [2]韩中庚,数学建模方法及其应用,高等教育出版社,2005 年 3

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